Question

已知a≥0，函数f(x)=(x²-2ax)e^x，
（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）令f′(x)=0，即[x²-2(a-1)x-2a]e^x=0，
∴x²-2(a-1)x-2a=0，
∵△=[2(a-1)]²+8a=4(a²+1)＞0，
∴x₁=，x₂=，
又∵当x∈(-∞，)时，f′(x)＞0；
当x∈(，)时，f′(x)＜0；
当x∈(，+∞)时，f′(x)＞0，
∴x₁，x₂分别为f (x)的极大值与极小值点，
又∵；当x→+∞时，f (x)→+∞，
而，
∴当x=时，f (x)取得最小值。
（Ⅱ）f (x)在[-1，1]上单调，则f′(x)≥0(或≤0)在[-1，1]上恒成立，
而f′(x)=[x²-2(a-1)x-2a]e^x，
令g(x)= x²-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]²-(a²+1)，
∴f′(x)≥0(或≤0)即g(x)≥0(或≤0)，
当g(x)≥0在[-1，1]上恒成立时，有
①当-1≤a-1≤1即0≤a≤2时，g(x)_min=g(a-1)=-(a²+1)≥0(舍)；
②当a-1＞1即a≥2时，g(x)_min=g(1)=3-4a≥0，∴a≤(舍)；
当g(x)≤0在[-1，1]上恒成立时，有
①当-1≤a-1≤0即0≤a≤1时，g(x)_max=g(1)=3-4a ≤0，∴≤a≤1；
②当0＜a-1≤1即1＜a≤2时，g(x)_max=g(-1)=-1≤0，∴1＜a≤2；
③当1＜a-1即a＞2时，g(x)_max=g(-1)=-1≤0，∴a＞2；
故a∈[，+∞) 。