题目内容

已知a≥0，函数f(x)=a2+
2
cos(x-
π
4
)+
1
2
sin2x的最大值为
25
2
，则实数a的值是
12-2
2
12-2
2
．
分析：通过两角差的余弦函数以及二倍角公式，利用换元法通过配方法求出函数的最大值，然后求出a的值．
解答：解：y=f(x)=a2+
2
cos(x-
π
4
)+
1
2
sin2x
=a2+
2
cosxcos
π
4
+
2
sinxsin
π
4
+  sinxcosx
=a2+cosx+sinx+sinxcosx
令t=cosx+sinx=
2
cos（x+
π
4
）-
2
≤t≤
2
，
y=a2+t+
t2-1
2

=
1
2
（t+1）2-1+a2
t=
2
时ymax=
2
+
1
2
+a2=
25
2

a2=12-
2

∵a≥0 
∴a=
12-2
2
．
故答案为：
12-2
2
．
点评：本题考查三角函数的最大值的求法，二倍角公式的应用，换元法的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知a≥0，函数f（x）=（x2-2ax）ex．
（Ⅰ）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．
已知a≠0，函数f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间(0，
1
2
]上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，试求正实数a的取值范围．
已知a≥0，函数f（x）=x2+ax．设x1∈(-∞，-
a
2
)，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l，l与x轴的交点是N（x2，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：x2=
x
2
1
2x1+a
；
（Ⅱ）若对于任意的x1∈(-∞，-
a
2
)，都有
OM
•
ON
＞
9a
16
成立，求a的取值范围．
已知a≥0，函数f（x）=（x2-2ax）ex．
（1）当a=0时讨论函数的单调性；
（2）当x取何值时，f（x）取最小值，证明你的结论．

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