Question

已知函数 f(x)=

0 (x=0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

．设S（a） （a≥0）是由x轴、y=f（x）的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当n∈N*时，S（n）-S（n-1）-f(n-

1

2

)=

0

．

Answer 1

分析：由已知中函数 f(x)=

0 (x=0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

的解析式，我们易求出f（0），f（1），f（2），f（3），f（4）…的值，进而得到n∈N时，函数的f（n）的解析式，结合S（a） 是由x轴、y=f（x）的图象以及直线x=a所围成的图形面积，我们可求出S（n）-S（n-1）与f(n-

1

2

)的表达式，进而得到答案．

解答：解：由已知中函数 f(x)=

0 (x=0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

．
可得：f（0）=0，f（1）=1，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=10，…，f（n）=

1

2

（n²+n），
又∵S（a） 是由x轴、y=f（x）的图象以及直线x=a所围成的图形面积，
∴S（n）-S（n-1）=

1

2

[f（n-1）+f（n）]
f(n-

1

2

)=

1

2

[f（n-1）+f（n）]．
故S（n）-S（n-1）-f(n-

1

2

)=0
故答案为：0

点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式，及分段函数的函数值，其中根据已知条件求出S（n）-S（n-1）与f(n-

1

2

)的表达式，是解答本题的关键．