Question

（本题满分12分）

设函数且对任意非零实数恒有，且对任意．  

（Ⅰ）求及的值；   

（Ⅱ）判断函数的奇偶性;

（Ⅲ）求方程的解.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

（Ⅱ）函数是偶函数.

（Ⅲ）方程的解集为.

【解析】解：（Ⅰ）对任意非零实数恒有，

令代入可得，┈┈ 1分

又令，代入并利用，可得.┈┈ 1分

（Ⅱ）取，代入得，又函数定义域为，

函数是偶函数. ┈┈ 2分

（Ⅲ）函数在上为单调递增函数，证明如下：

任取且，则，由题设有，

，

，即函数在上为单调递增函数；┈┈ 4分

由（Ⅱ）函数是偶函数，函数在上为单调递减函数；┈┈ 1分

解得或，┈┈ 2分

方程的解集为.┈┈ 1分