Question

20．已知{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，且满足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$．
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）证明：S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）求出$\frac{1}{n}$S_n的通项公式，利用放缩法进行证明不等式．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，…（2分）
即S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
则$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$，…（4分）
从而{$\frac{1}{{S}_{n}}$}构成以1为首项，2为公差的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）∵{$\frac{1}{{S}_{n}}$}构成以1为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，即S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{n}$S_n=$\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}$
=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）．…（9分）
从而S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜1+$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}＜$$\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查数列求和以及，等差数列的判断，根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决本题的关键．