Question

设函数f（x）的导函数为f′（x），若f(x)=ax3-ax2+[

f′(1)

2

-1]x，a∈R．
（1）a表示f′（1）；
（II）若函数f（x）f在R上存在极值，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）因为f′（1）为常数，故将f（x）求导，令x=1，即可用a表示f′（1）；
（2）若函数f（x）f在R上存在极值，则f′（x）=0必须有两个相异根，故△＞0，解不等式即可．

解答：解：（I）f′（x）=3ax2-2ax+

f′(1)

2

-1，
把x=1代入上式得f′(1)=a+

f′(1)

2

-1，
所以f′（1）=2a-2；
（II）由（1）可知：f′（x）=3ax²-2ax+a-2，
a=0时，f′（x）=-2＜0，所以f（x）在R上单调递减，无极值；
当a≠0时，若函数f（x）f在R上存在极值，则f′（x）=0必须有两个相异根．
故△＞0，即4a²-4×3a×（a-2）＞0，
即4a²-12a（a-2）＞0，
解得0＜a＜3．

点评：本题考查求函数的导数、对导数的认识，及函数存在极值的条件等知识，难度不大．