题目内容

已知函数f(x)=ln(1+x)-.

(1)求f(x)的极小值;

    (2)若ab>0,求证:lna-lnb≥1-  

(1)解析:f(x)=ln(1+x)-,求导数得

f′(x)=,而f(x)的定义域x>-1,在x>0时,f′(x)>0;在-1<x<0时,f′(x)<0.

∴在x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0.                                6分

(2)证明:在x=0时,f(x)取得极小值,而且是最小值,于是f(x)≥f(0)=0,

从而ln(1+x)≥x>-1时恒成立.

令1+x=>0,则=1-=1-,

于是lna-lnb=ln≥1-,

因此lna-lnb≥1-a>0,b>0时成立.                                   12分

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