Question

如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=a（0＜a＜

3

）．
（1）若a=

3

2

，求二面角C-BD-C′的大小；
（2）当a变化时，线段CC′上是否总存在一点E，使得AC′∥平面BED？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接OC'，菱形ABCD中，CO⊥BD，得到∠C'OC为二面角C-BD-C'的平面角，由此能求出二面角C-BD-C'的大小．
（2）当a变化时，线段CC'的中点E总满足AC'∥平面BED．因为E，O分别为线段CC'，AC的中点，所以OE∥AC'，所以AC'∥平面BED．

解答：解：（1）连接AC，交BD于点O，连接OC'，
菱形ABCD中，CO⊥BD，
因三角形BCD沿BD折起，所以C'O⊥BD，
故∠C'OC为二面角C-BD-C'的平面角，
易得C′O=CO=

3

2

，而CC′=

3

2

，
所以∠C′OC=

π

3

，二面角C-BD-C'的大小为

π

3

；
（2）当a变化时，线段CC'的中点E总满足AC'∥平面BED，
下证之：
因为E，O分别为线段CC'，AC的中点，所以OE∥AC'，
又AC'?平面BED，OE?平面BED，所以AC'∥平面BED．

点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．