题目内容
以F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P(,1).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点S(,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
解法一:(Ⅰ)设椭圆方程为(a>b>0),由已知c=1,
又2a=
所以a=,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程是x2+
=1
(Ⅱ)若直线l与x轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1,
若直线l垂直于x轴,则以AB为直径的圆是(x+)2+y2=
,
由解得
即两圆相切于点(1,0).
因此所求的点T如果存在,只能是(1,0).
事实上,点T(1,0)就是所求的点.证明如下:
当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(1,0).
若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=k(x+).
由即(k2+2)x2+
k2x+
k2-2=0
记点A(x1,y1),B(x2,y2),则
又因为=(x1-1, y1),
=(x2-1, y2),所以
?
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+
)(x2+
)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+
k2+1
=(k2+1) +(
k2-1)
+
+1=0,
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(1,0).
所以在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件.
解法二:(Ⅰ)由已知c=1,设椭圆C的方程是(a>1).
因为点P在椭圆C上,所以,解得a2=2,
所以椭圆C的方程是:.
(Ⅱ)假设存在定点T(u,v)满足条件.
同解法一得(k2+2)x2+k2x+
k2-2=0
记点A(x1,y1),B(x2,y2),则
又因为=(x1-u, y1-v),
=(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+
),y2=k(x2+
).
所以?
=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+
k2-
v+u2+v2
=(k2+1) +(
k2-u-kv)?
+
+ u2+v2,
=
当且仅当?
=0恒成立时,以AB为直径的圆恒过点T.
?
=0恒成立等价于
解得u=1,v=0.所以当u=1,v=0时.无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T(1,0).10分
当直线l垂直于x轴时以AB为直径的圆亦过点T(1,0).
所以在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件.
解法三:(Ⅰ)同解法一或解法二.
(Ⅱ)设坐标平面上存在一个定点T满足条件,根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性,所求的点T如果存在,只能在x轴上,设T(t,0).
同解法一得
又因为=(x1-t, y1),
=(x2-t, y2),所以
?
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+
)(x2+
)
=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+
k2+t 2
=(k2+1) +(
k2-t)
+
+t2
= .
当且仅当?
=0恒成立时,以AB为直径的圆恒过点T.
?
=0恒成立等价于
解得t=1.
所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T.
当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆亦过点T(1,0).
所以在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件.
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