题目内容

以F1（0，-1），F2（0，1）为焦点的椭圆C过点P(
2
2
，1)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点S(-
1
3
，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（I）椭圆过点P(
2
2
，1)，则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=
(
2
2
)2+22
+
(
2
2
)2+02
=2
2
，由此可求出椭圆C的方程．
（II）解法一：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1；若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是(x+
1
3
)2+y2=
16
9

由
(x+
1
3
)2+y2=
16
9
x2+y2=1
，由此可求出点T的坐标．
解法二：如果存在定点T（u，v）满足条件．若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆经过点（1，0）；若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+
1
3
)．由
x2+
y2
2
=1
y=k(x+
1
3
)
，整理得(k2+2)x2+
2
3
k2x+
1
9
k2-2=0，然后利用根与系数的关系进行求解．
解答：解：（I）设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），∵椭圆过点P(
2
2
，1)，则由椭圆的定义知
2a=|PF1|+|PF2|=
(
2
2
)2+22
+
(
2
2
)2+02
=2
2

所以，a=
2
，b2=a2-c2=1，
椭圆C的方程为x2+
y2
2
=1．
（II）解法一：
若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1；
若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是(x+
1
3
)2+y2=
16
9

由
(x+
1
3
)2+y2=
16
9
x2+y2=1
解得
x=1
y=0
，所以两圆相切于点（1，0）．
因此，如果存在点T满足条件，则该点只能是（1，0）
下面证明T（1，0）就是所求的点．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+
1
3
)
由
x2+
y2
2
=1
y=k(x+
1
3
)
，整理得(k2+2)x2+
2
3
k2x+
1
9
k2-2=0
记A（x1，y1）、B（x2，y2），则
x1+x2=
-2k2
3(k2+2)
x1x2=
k2-18
9(k2+2)

又因为
TA
=(x1-1，y1)，
TB
=(x2-1，y2)，
则
TA
•
TB
=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)=（x1-1）（x2-1）+y1y2
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+
1
3
)(x2+
1
3
)=(k2+1)x1x2+(
1
3
k2-1)(x1+x2)+
1
9
k2+1
=(k2+1)•
k2-18
9(k2+2)
+(
1
3
k2-1)•
-2k2
3(k2+2)
+
1
9
k2+1=0
所以，TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（1，0），
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题设条件
解法二：（I）由已知c=1，设椭圆方程为
y2
a2
+
x2
a2-1
=1 (a＞1)．
因为点P在椭圆上，则
1
a2
+
1
2
a2-1
=1 (a＞1)，解得a2=2，
所以椭圆方程为x2+
y2
2
=1
（II）如果存在定点T（u，v）满足条件．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+
1
3
)．
由
x2+
y2
2
=1
y=k(x+
1
3
)
，整理得(k2+2)x2+
2
3
k2x+
1
9
k2-2=0
记A（x1，y1）、B（x2，y2），则
x1+x2=
-2k2
3(k2+2)
x1x2=
k2-18
9(k2+2)

∵又因为
TA
=(x1-u，y1-v)，
TB
=(x2-u，y2-v)，
则
TA
•
TB
=(x1-u，y1-v)•(x2-u，y2-v)=（x1-u）（x2-u）+（y1-v）（y2-v）
=(x1-u)(x2-u)+(kx1+
1
3
k-v)(kx2+
1
3
k-v)
=(k2+1)x1x2+(
1
3
k2-u-kv)(x1+x2)+
1
9
k2-
2
3
kv+u2+v2
=(k2+1)•
k2-18
9(k2+2)
+(
1
3
k2-u-kv)•
-2k2
3(k2+2)
+
1
9
k2-
2
3
kv+u2+v2
=
(3u2+2u+3v2-5)k2-4vk+6u2+6v2-6
3(k2+2)

当且仅当
TA
•
TB
=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T（u，v）．
TA
•
TB
=0恒成立等价于
3u2+2u+3v2-5=0
-4v=0
6u2+6v2-6=0
，
解得u=1，v=0
所以当u=1，v=0时，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T（1，0）．
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题目条件．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系，解题要注意挖掘隐含条件，合理选用公式．
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