Question

已知函数．（1）那么方程f（x）=0在区间[-2009，2009]上的根的个数是    ；（2）对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意x∈（-1，0），函数f（x）的导函数f'（x）＜0．其中真命题的序号是    ．（填写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：观察函数的解析式它不是一个奇函数，由于分子的值从-1到1周期性变化，分母的值随着x的值远离原点，逐渐趋向于正无穷大，函数图象逐渐靠近x轴，由这些性质对四个命题进行判断选出正确选项
解答：解：（1）由于分母恒正，所以方程f（x）=0等价于sinπx=0，由于周期为T=2，故在区间[-2009，2009]上的根的个数是4019个；（2）①函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于X轴，故不是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值，由①的判断知，函数存在最大值与最小值，此命题正确；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴，由函数解析式可以得出，其图象周期性穿过X轴，由于分母不断增大，图象往两边延伸都无限靠近于X轴，其对称轴是x=，此命题正确；④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数），此命题不正确，由于自变量从-1变化到0分母变小，而分子由0减小到-1，再由-1增大到0，所以函数值的变化是选减小再增大，故导数恒小于0不成立．此命题不正确．综上，②③正确
故答案为4019；②③
点评：考查了函数思想，转化思想，属中档题，是个基础题．还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，数形结合法是解答本类题的重要方法．本题函数解析式复杂，不利于判断