题目内容
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB）为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为ym．（1）设∠CA1O=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长．
分析：（1）由于细绳的总长包括CB长及CA1，CA2，CA3的长，CA1=
，CO=2tanθ，故可表示细绳的总长；
（2）利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点，所以利用求极值的方法可求最值．
| 2 |
| cosθ |
（2）利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点，所以利用求极值的方法可求最值．
解答：
解：（1）在Rt△COA1中，CA1=
，CO=2tanθ，…（2分）y=3CA1+CB=3•
+2-2tanθ=
+2（0＜θ＜
）…（7分）
（2）y/=2
=2
，
令y'=0，则sinθ=
…（12分）
当sinθ＞
时，y'＞0；sinθ＜
时，y'＜0，
∵y=sinθ在[0，
]上是增函数
∴当角θ满足sinθ=
时，y最小，最小为4
+2；此时BC=2-
m …（16分）
解：（1）在Rt△COA1中，CA1=| 2 |
| cosθ |
| 2 |
| cosθ |
| 2(3-sinθ) |
| cosθ |
| π |
| 4 |
（2）y/=2
| -cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ) |
| cos2θ |
| 3sinθ-1 |
| cos2θ |
令y'=0，则sinθ=
| 1 |
| 3 |
当sinθ＞
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵y=sinθ在[0，
| π |
| 4 |
∴当角θ满足sinθ=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题的考点是已知三角函数模型的应用问题，主要考查引进角参数，构建三角函数模型，同时考查利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点
练习册系列答案
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如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB）为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等，求细绳总长y的最小值，并求出此时BC的长度．
为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为
上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为ym。（1）设∠CA1O = 
(rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你设计
）为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为
，
(rad)，将y表示成
