题目内容
函数
(I)设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点处的切线相同,且f(x)在x=-2e(e是自然对数的底数)时取得极值,求a、b的值;
(II)若函数g(x)的图象过点(1,0)且函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围.
【答案】分析:(I)求导函数,利用f(x)在x=-2e(e是自然对数的底数)时取得极值,可求得a=e,利用曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点(x,y)处的切线相同,建立方程组,可求b=-
;
(II)先确定b,再利用h(x)在(0,4)上为单调函数,得出导函数小于等于0或大于大于0,利用分离参数法,即可求得结论.
解答:解:(I)求导函数可得
∵f(x)在x=-2e(e是自然对数的底数)时取得极值
∴f′(-2e)=0
∴a=e
∴
∵曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点(x,y)处的切线相同,
∴
∴x=e或x=-3e(舍去),b=-
∴a=e,b=-
;
(II)∵函数g(x)的图象过点(1,0),∴b=0
∵h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x=
∴h′(x)=x+
∵h(x)在(0,4)上为单调函数,
∴h′(x)=x+
≤0或h′(x)=x+
≥0在(0,4)上恒成立
当h′(x)=x+
≤0在(0,4)上恒成立时,3a2≤-x2+6x在(0,4)上恒成立,∴a=0
当h′(x)=x+
≥0在(0,4)上恒成立时,3a2≥-x2+6x在(0,4)上恒成立
∵y=-x2+6x在(0,4)上的最大值为9
∴a≥
或
∴a的取值范围为
{0}
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

(II)先确定b,再利用h(x)在(0,4)上为单调函数,得出导函数小于等于0或大于大于0,利用分离参数法,即可求得结论.
解答:解:(I)求导函数可得

∵f(x)在x=-2e(e是自然对数的底数)时取得极值
∴f′(-2e)=0
∴a=e
∴

∵曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点(x,y)处的切线相同,
∴

∴x=e或x=-3e(舍去),b=-

∴a=e,b=-

(II)∵函数g(x)的图象过点(1,0),∴b=0
∵h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x=

∴h′(x)=x+

∵h(x)在(0,4)上为单调函数,
∴h′(x)=x+


当h′(x)=x+

当h′(x)=x+

∵y=-x2+6x在(0,4)上的最大值为9
∴a≥


∴a的取值范围为

点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
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A、f(x)=
| ||
B、f(x)=
| ||
C、f(x)=-log2x(x>0) | ||
D、f(x)=-log2(-x)(x<0) |