Question

已知实数x、y 仅满足x•y＞0，且

8

xy

+

1

x

+

1

y

=1，则xy取值的范围是（　　）

A．[4，+∞）

B．[16，+∞）

C．（16，+∞）

D．（0，4]∪[16，+∞）

Answer 1

分析：将

8

xy

+

1

x

+

1

y

=1变形为x+y=xy-8，再结合已知条件，利用基本不等式即可．

解答：解：∵

8

xy

+

1

x

+

1

y

=1，
∴

8

xy

=1-

1

x

-

1

y

=

xy-(x+y)

xy

，
∴xy=8+（x+y），
∴x+y=8-xy，
又x•y＞0，
∴若x＞0，y＞0，则

xy

＞0，
∴8-xy=x+y≥2

xy

（当且仅当x=y时取等号），
∴（

xy

+4）（

xy

-2）≤0，
∴-4≤

xy

≤2，又

xy

＞0，
∴0＜

xy

≤2，
∴0＜xy≤4；
若x＜0，y＜0，-x＞0，-y＞0，
同理可得8-xy≤-2

xy

，
∴

xy

≥4或

xy

≤-2（舍去），
∴xy≥16．
综上所述，0＜xy≤4或xy≥16．
故选D．

点评：本题考查基本不等式的应用，考查转化思想与分类讨论思想及对等式变形应用的能力，属于中档题．