题目内容

已知实数x、y 仅满足x•y＞0，且 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ =1，则xy取值的范围是

A.
[4，+∞）
B.
[16，+∞）
C.
（16，+∞）
D.
（0，4]∪[16，+∞）

D
分析：将 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1变形为x+y=xy-8，再结合已知条件，利用基本不等式即可．
解答：∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴xy=8+（x+y），
∴x+y=8-xy，
又x•y＞0，
∴若x＞0，y＞0，则 $\text{[math]}$ ＞0，
∴8-xy=x+y≥2 $\text{[math]}$ （当且仅当x=y时取等号），
∴（ $\text{[math]}$ +4）（ $\text{[math]}$ -2）≤0，
∴-4≤ $\text{[math]}$ ≤2，又 $\text{[math]}$ ＞0，
∴0＜ $\text{[math]}$ ≤2，
∴0＜xy≤4；
若x＜0，y＜0，-x＞0，-y＞0，
同理可得8-xy≤-2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≥4或 $\text{[math]}$ ≤-2（舍去），
∴xy≥16．
综上所述，0＜xy≤4或xy≥16．
故选D．
点评：本题考查基本不等式的应用，考查转化思想与分类讨论思想及对等式变形应用的能力，属于中档题．