题目内容
已知{an}是等比数列，{an}中有连续三项的积为1，则该三项的和的取值范围是分析：设出此等比数列的连续三项，根据等比数列的性质变形后即可求出中间项的值为1，然后设出公比为q，根据等比数列的性质表示出前一项与后一项，三项相加，分q大于0和q小于0两种情况，分别利用基本不等式即可求出三项和的范围，求出两范围的并集即可得到所求．
解答：解：设连续三项中间的项为an，则前一项为an-1，后一项为an+1，
∵{an}是等比数列，根据题意有an-1•an•an+1=（an）3=1，
∴an=1，设公比为q，an-1=
，an+1=q，
当q＞0时，an-1+an+an+1=
+1+q≥3，当且仅当q=1时取等号，
此时该三项的和的取值范围是[3，+∞）；
当q＜0，即-q＞0时，an-1+an+an+1=
+1+q=1-[（-
）+（-q）]≤1-2=-1，当且仅当q=-1时取等号，
此时该三项的和的取值范围是（-∞，-1]，
综上，该三项的和的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）
∵{an}是等比数列，根据题意有an-1•an•an+1=（an）3=1，
∴an=1，设公比为q，an-1=
| 1 |
| q |
当q＞0时，an-1+an+an+1=
| 1 |
| q |
此时该三项的和的取值范围是[3，+∞）；
当q＜0，即-q＞0时，an-1+an+an+1=
| 1 |
| q |
| 1 |
| q |
此时该三项的和的取值范围是（-∞，-1]，
综上，该三项的和的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）
点评：此题考查了等比数列的性质，以及基本不等式的运用．学生在运用基本不等式a+b≥2
时，注意a与b必须为正数．
| ab |
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