Question

如图1-3-15，已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD =AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.

图1-3-15

(1)求证:△ABC∽△FCD；

(2)若S_△FCD?=5，BC＝10，求DE的长.

Answer 1

思路分析:第(1)问,∵AD = AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中点，ED⊥BC，?

∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.?

第(2)问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC于M，易知S_△ABC=4S_△FCD.∴S_△ABC=20，AM =4.

又∵AM∥ED，∴=.再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S_△ABC=20.

(1)证明:∵DE⊥BC，D是BC中点，∴EB =EC.?

∴∠B=∠1.?

又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.?

∴△ABC∽△FCD.

(2)解法一:过点A作AM⊥BC，垂足为点M.(如图所示)?

∵△ABC∽△FCD，BC =2CD，?

∴=()²=4.?

又∵S_△FCD =5，∴S_△ABC =20.?

∵S_△ABC?= BC·AM，BC =10，

∴20 =×10×AM.∴AM =4.?

又∵DE∥AM，∴=.?

∵ ，BM =BD +DM，BD =，∴=.?

∴.?

解法二:作FH⊥BC，垂足为点H.(如图所示)?

∵S_△FCD = DC·FH，?

又∵S_△FCD?=5， ，?

∴5=×5×FH.∴FH =2.?

过点A作AM⊥BC，垂足为点M，?

∵△ABC∽△FCD，?

∴= =.∴AM =4.?

又∵FH∥AM，∴= = =.?

∴点H是DM的中点.?

又∵FH∥DE，∴=.?

∵HC =HM +MC=，∴=.∴.