Question

有一批大小相同的呈正方体型的物件，按照上面少，下面多的方式，堆放于仓库的墙角处．从上至下，第一层放1件，第二层放3件，第三层放6件…，各层放置的平面图形如下：
如果这堆物件一共堆放了10层，则第10层放有

55

件这样的物件；这一堆共有

220

件这样的物件．

Answer 1

分析：设各层物件数构成数列{a_n}，由题可知a_n-a _n-1=n（n≥2）且a₁=1．利用累加法求出通项公式a_n=

1

2

（n²+n），a₁₀=可求．再利用分组求和法求和即可．

解答：解：设各层物件数构成数列{a_n}，由题可知a_n-a _n-1=n（n≥2）且a₁=1．
所以a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
…
a_n-a _n-1=n （n≥2）
以上各式两边分别相加得
a_n-a₁=2+3+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

=

1

2

（n²+n）（n≥2），且a₁=1也适合．
∴a₁₀=55
S₁₀=

1

2

（1²+2²+…+10²）+

1

2

(1+2+…+10)

=

1

2

×

10×11×21

6

+

1

2

×

11×10

2

=220．
故答案为：55   220．

点评：本题考查数列求和，用到了累加法求通项，分组、公式法求和．考查建模解模的能力．公式1²+2²+3²+…n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．