题目内容

【题目】如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设BP=t.
(I)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值;
(Ⅱ)设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S(平方百米),求S的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,
设∠PAB=θ,
则∠DAQ=45°﹣θ,
DQ=tan(45°﹣θ)=,CQ=1﹣=
∴PQ===
∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2,是定值
(Ⅱ)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×
=1﹣t﹣=1﹣t﹣(﹣1+),
=1+
=2﹣(+),
由于1+t>0,
则S=2﹣(+)≤2﹣2=2﹣,当且仅当=,即t=﹣1时等号成立,
故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2﹣平方百米.
【解析】(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,设∠PAB=θ,则∠DAQ=45°﹣θ,分别求出CP,CQ,PQ即可得到求出周长l=2,问题得以解决;
(Ⅱ)根据S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣(+),根据基本不等式的性质即可求出S的最大值。

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