Question

6．已知α，β为锐角，cosα=$\frac{1}{7}，sin（α+β）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，则cosβ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cos（α+β）的值，再利用两角差的三角公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β为锐角，cosα=$\frac{1}{7}$＜$\frac{1}{2}$，∴α＞$\frac{π}{3}$，sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
又 sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，∴α+β 为钝角，∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{11}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{11}{14}$•$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．