Question

9．f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x．
（1）求f（x）的表达式；
（2）解不等式f（x+2）＜5．

Answer 1

分析 （1）根据函数偶函数的性质，即可求f（x）的表达式；
（2）利用对称性即可得到结论．

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x²-4x，
∴当-x＞0时，f（-x）=x²+4x，
∵f（x）是定义域为R的偶函数，
∴f（-x）=x²+4x=f（x），
即当x＜0时，f（x）=x²+4x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x≥0}\\{{x}^{2}+4x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）当x≥0时，由f（x）=x²-4x=5，解得x=5或x=-1（舍去），则根据对称性可得，当x＜0时，f（-5）=5，
作出函数f（x）的图象如图：
则不等式f（x+2）＜5等价为-5＜x+2＜5，
即-7＜x＜3，
则不等式的解集为（-7，3）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的解法，利用偶函数的对称性和数形结合是解决本题的关键．