Question

已知函数f(x)=x-

a

x

（a＞0），有下列四个命题：
①f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；
④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（　　）

• A、仅②④
• B、仅②③
• C、仅①②
• D、仅③④

Answer 1

分析：①当a=x=1时f（x）=0，采用举反例的方法得到答案是否正确；
②利用f（-x）+f（x）看是否为0即可判断函数是否为奇函数；
③求出f′（x）判断其符号即可知道函数单调与否；
④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a化简求出x即可判断．

解答：解：①当a=x=1时f（x）=0，所以f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞），错误；
②f（-x）=-x+

a

x

，而f（x）=x-

a

x

，所以f（-x）+f（x）=-x+

a

x

+x-

a

x

=0得到函数为奇函数，正确；
③因为f′（x）=1+

a

x2

，由a＞0得到f′（x）＞1＞0，所以函数单调递增，正确；
④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a，当a=4时，方程有三个解，错误．
故选B

点评：考查学生会用反例法说明一个命题错误的能力，判断函数单调性及证明的能力，判断函数奇偶性的能力，会判断根的存在性及根的个数的能力．