题目内容

定义：两个连续函数（图象不间断）f（x）、g（x）在区间[a，b]上都有意义，则称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．已知函数f（x）=x³，g（x）=x³-3ax²+2．
（I）若函数y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，求a的值；
（II）在（I）的条件下求汉顺f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对值”
（Ⅲ）记f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为 $数学公式$ ，且h（a）=2，试求a的取值范围．

解：（I）∵g′（x）=3x²-6ax，g（x）地点（1，g（1））处的切线与直线y=x+2平行，
∴g′（1）=3-6a=1，a= $\text{[math]}$
（II）m（x）=2x³-x²+2，m′（x）=6x²-2x=6x（x- $\text{[math]}$ ）由m′（x）=6x²-2x=6x（x- $\text{[math]}$ ）＞0，得x＜0或x＞ $\text{[math]}$
由m′（x）=6x²-2x=6x（x- $\text{[math]}$ ）＜0，得0＜x＜ $\text{[math]}$
又∵x∈[0，2]
|m（2）|＞|m（0）|＞|m（ $\text{[math]}$ ）|
∴f（x）与g（x）在区间[0，2]上的“绝对和”为12
（III）记m（x）=f（x）+g（x），则m（x）=2x3-3ax2+2
m′（x）=6x（x-a）
∵a＞ $\text{[math]}$ ＞0
∴由m（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0
由m（x）=6x（x-a）＜0得0＜x＜a
又∵x∈[0，2]，且a＞ $\text{[math]}$
（1）当 $\text{[math]}$ ＜a＜2时，m（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增．
又∵m（0）=2，m（a）=2-a²＜0，则|m（2）|＜|m（a）|
此时有|m（0）|-|m（a）|=4-a2≥0，解得a≤ $\text{[math]}$
∴（i）当 $\text{[math]}$ ，|m（0）|＞|m（a）|
故“绝对和”为h（a）=m（0）=2
（ii）当 $\text{[math]}$ ，|m（0）|＜|m（a）|
故“绝对值和”为h（a）=m（a）=a²-2
（2）a≥2，m（x）在x∈[0，2]上单调递减
|m（2）|＞|m（0）|
故“绝对和”为h（a）=m2）=12a-18≥6＞2
由（1）（2）得a的取值范围是
$\text{[math]}$
分析：（I）用导数的几何意义求解．
（II）先建立m（x）=f（x）+g（x），再求导研究单调性，确定极值，再加上端点求得最大值．
（III）按照（II）的思路求得“绝对和”，再由 $\text{[math]}$ 和[0，2]分类讨论．
点评：本题主要考查导数的几何意义，用导数法求函数的最大值以及用新定义来研究最大值的应用．