Question

将圆x²+y²=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

3

2

倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l过点F₁且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l₁与线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）设过点（0，-2）但不经过第一象限的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，且

OA

•

OB

=0（O是坐标原点），求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）在曲线C上任取一个动点（x，y），圆x²+y²=4上的对应点的坐标为（x'，y'），进而根据条件得出

x=x′ y= 3 2 y′

，即可求出椭圆方程．
（2）把条件转化为动点M到定点F₂（1，0）的距离等于它到直线l：x=-1的距离即可求出点M的轨迹的方程．
（3）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=0，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，知y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，然后联立直线与圆锥曲线，由此入手能够求出直线的方程．

解答：解：（1）在所求椭圆上C上任取一个动点（x，y），圆x²+y²=4上的对应点的坐标为（x'，y'）
由题意可得

x=x′ y= 3 2 y′

 
∵x'²+y'²=4．
∴x²+

4

3

y²=4
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|，
即动点M到定点F₂（1，0）的距离等于它到直线l：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是y²=4x．
（3）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．①
由方程组

x2 4 + y2 3 =1  y=kx-2

得（3+4k²）x²-16kx+4=0．
则x₁+x₂=

16k

3+4k2

，x₁x₂=

4

3+4k2

，
代入①，得（1+k²）•

4

3+4k2

-2k•

16k

3+4k2

+4=0，
即3k²=4，解得k=

2 3

3

或k=-

2 3

3

，
∵直线不经过第一象限，且k=-

2 3

3

时，△＞0
∴k=-

2 3

3

满足条件，
∴直线的方程是y=-

2 3

3

x-2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程、直线方程成以及椭圆方程和直线方程的求法，对于（3）问解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．