题目内容

某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:小时)而周期性变化.为了了解变化规律,该队观察若干天后,得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1,0 1,4 1,0 0,6 1,0 1,4 0,9 0,4 1,0
(Ⅰ)可近似地看成是函数y=Asin(ωt+φ)+b求出该拟合模型的解析式;
(Ⅱ)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排白天内进行训练的具体时间段.
分析:(I)根据函数最大最小值的和与差,算出A=
2
5
、b=1.而函数的周期T=12,得ω=
12
=
π
6
,再将点(0,1)代入,解关于φ的方程得到φ=0,即可得到该拟合模型的解析式;
(II)根据函数表达式,算出满足y≥0.8的x范围即可,由此结合正弦函数图象与性质即可算出应在白天11时~19时进行训练.
解答:解:(Ⅰ)由题可知,
A=
1.4-0.6
2
=
2
5
,T=12,b=
1.4+0.6
2
=1

ω=
12
=
π
6
y=
2
5
sin(
π
6
t+φ)+1

把t=0代入,得
π
6
×0+φ=0
,即φ=0.
所以该拟合模型的解析式为:y=
2
5
sin
πt
6
+1
(0≤t≤24).
(Ⅱ)由y=
2
5
sin
πt
6
+1≥
4
5
(0≤t≤24),即sin
πt
6
≥-
1
2

-
π
6
+2kπ≤
πt
6
6
+2kπ
,得-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z
从而0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.
所以,应在白天11时~19时进行训练.
点评:本题给出实际应用问题,求函数的表达式并确定白天内进行训练的具体时间段.着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数模型的应用等知识,属于中档题.
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