题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
.若对任意的
,
都有
.
(1)用函数单调性的定义证明: 在定义域上为增函数;
(2)若,求
的取值范围;
(3)若不等式对所有的
和
都恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)任取,作差
,可证明
从而可得结果;(2)根据函数的单调性,结合函数的定义域,列出关于
的不等式组,解不等式组即可得结果;(3)不等式
恒成立等价于
,即
对任意
恒成立,根据一次函数的性质可得结果.
试题解析:(1)设,
,
,∴
在
上为增函数.
(2)
在
单调递增,
.
(3)要使对任意
恒成立,只要
在
即可,由(1)知
在
单调递增,
,
,
对任意
恒成立,令
,只要
且
即可,
且
.
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式,属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点:(1)一定注意抽象函数的定义域(这一点是同学们容易疏忽的地方,不能掉以轻心);(2)注意应用函数的奇偶性(往往需要先证明是奇函数还是偶函数);(3)化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.
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练习册系列答案
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【题目】某公司有五辆汽车,其中
两辆汽车的车牌尾号均为1.
两辆汽车的车牌尾号均为2,
车的车牌尾号为6,已知在非限行日,每辆车可能出车或不出车,
三辆汽车每天出车的概率均为
,
两辆汽车每天出车的概率均为
,且五辆汽车是否出车相互独立,该公司所在地区汽车限行规定如下:
车牌尾号 | 0和5 | 1和6 | 2和7 | 3和8 | 4和9 |
限行日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
(1)求该公司在星期一至少有2辆汽车出国的概率;
(2)设表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和,求
的分布列及期望.