题目内容

若
lim
n→∞
(
n
n-1
)f(n)=e2，则f（n）的一个表达式为
f（n）=2n
f（n）=2n
（只需写出一个）．
分析：由
lim
n→∞
（
n
n-1
）n=
lim
n→∞
（1+
1
n-1
)n=e．且
lim
n→∞
(
n
n-1
)f(n)=e2，知f（n）=2n．
解答：解：∵
lim
n→∞
（
n
n-1
）n
=
lim
n→∞
（1+
1
n-1
)n
=e．
且
lim
n→∞
(
n
n-1
)f(n)=e2，
∴f（n）=2n．
故答案为：f（n）=2n．
点评：本题考查极限的性质和应用，解题时要认真审题，注意重要极限的灵活运用．
练习册系列答案
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由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{bn}，bn=f-1（n），若对于任意n?N*，都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=
px+1
x+1
确定数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
（2）在（1）条件下，记
n
1
x1
+
1
x2
+…
1
xn
为正数数列{xn}的调和平均数，若dn=
2
an+1
-1，Sn为数列{dn}的前n项之和，Hn为数列{Sn}的调和平均数，求
lim
n→∞
=
Hn
n
；
（3）已知正数数列{cn}的前n项之和Tn=
1
2
(Cn+
n
Cn
)．求Tn表达式．
（2013•普陀区二模）若ai，j表示n×n阶矩阵
1111…1
2345…?
358 …?
????…?
n…………an，n
中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，3，…，n-1），则
lim
n→∞
a3，n
n2
=
1
2
1
2
．
若
lim
n→∞
(
n
n-1
)f(n)=e2，则f（n）的一个表达式为______（只需写出一个）．
若ai，j表示n×n阶矩阵
1111…1
2345…?
358 …?
????…?
n…………an，n
中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，3，…，n-1），则
lim
n→∞
a3，n
n2
=______．

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