Question

12．已知函数f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a（a＞0），若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 把f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立转化为ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，然后构造函数g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx，由导数分类求得函数g（x）在[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范围．

解答 解：由f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a（a＞0），f（x）≥lnx，得ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx≥0，
令g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx，则g′（x）=$\frac{（x-1）[ax+（a-1）]}{{x}^{2}}$．
若-$\frac{a-1}{a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$，则g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上为增函数，又g（1）=0，
∴f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
若-$\frac{a-1}{a}$＞1，即a＜$\frac{1}{2}$，当x∈（-∞，1），（-$\frac{a-1}{a}$，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．
当x∈（1，$\frac{a-1}{a}$）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（-$\frac{a-1}{a}$）．
∵g（1）=0，∴g（-$\frac{a-1}{a}$）＜0，不合题意；
若-$\frac{a-1}{a}$＞1，即a＞$\frac{1}{2}$，当x∈（-∞，-$\frac{a-1}{a}$），（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．
当x∈（-$\frac{a-1}{a}$，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）．
∵g（1）=0，∴f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
综上，a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．