Question

1．空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，E是边BC的中点，那么（　　）

• A． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＜$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• B． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• C． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• D． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$不能比较大小

Answer 1

分析 四边形ABCD的各边及对角线均相等，且设为a，运用等边三角形的性质，可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=0，取BD的中点F，连接AF，EF，由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{4}$a²＜0，即可得到结论．

解答 解：四边形ABCD的各边及对角线均相等，且设为a，
E是边BC的中点，
即有AE⊥BC，即$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
取BD的中点F，连接AF，EF，
可得AF=AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EF=$\frac{1}{2}$a，
由余弦定理可得，cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$
=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{CD}$|•（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•a•（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
=-$\frac{1}{4}$a²＜0，
故选C．

点评 本题考查向量的数量积的运算和性质，运用向量垂直的条件和定义，以及余弦定理的运用，属于基础题．