Question

（2013•湖南）对于E={a₁，a₂，…．a₁₀₀}的子集X={a₁，a₂，…，a_n}，定义X的“特征数列”为x₁，x₂…，x₁₀₀，其中x₁=x₁₀=…x_n=1．其余项均为0，例如子集{a₂，a₃}的“特征数列”为0，1，0，0，…，0
（1）子集{a₁，a₃，a₅}的“特征数列”的前3项和等于

2

；
（2）若E的子集P的“特征数列”P₁，P₂，…，P₁₀₀ 满足p₁=1，p_i+p_i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q₁，q₂，q₁₀₀满足q₁=1，q_j+q_j+1+q_j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为

17

．

Answer 1

分析：（1）利用“特征数列”的定义即可得出；
（2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可．

解答：解：（1）子集{a₁，a₃，a₅}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；
（2）∵E的子集P的“特征数列”P₁，P₂，…，P₁₀₀ 满足P₁+P_i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．
又E 的子集Q的“特征数列”q₁，q₂，…，q₁₀₀满足q₁=1，q_j+q_j+1+q_j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q₁+q₂+q₃=1，∵q₁=1，∴q₂=q₃=0；同理q₄=1=q₇=…=q_3n-2．
∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．
则P∩Q的元素为a₁，a₇，a₁₃，…，a₉₁，a₉₇．
∵97=1+（17-1）×6，∴共有17相同的元素．
故答案分别为2，17．

点评：正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．