Question

已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=

z

2+i

，且|ω|=5

2

，则复数ω=

±（7-i）

．

Answer 1

分析：设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a-3b+（3a+b）i为纯虚数，可得

a-3b=0 3a+b≠0

．
又ω=

2a+b

5

+

2b-a

5

i，|ω|=5

2

，可得

( 2a+b 5 )2+( 2b-a 5 )2

=5

2

．即可得出a，b．

解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a-3b+（3a+b）i为纯虚数，∴

a-3b=0 3a+b≠0

．
又ω=

z

2+i

=

(a+bi)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

2a+b+(2b-a)i

5

=

2a+b

5

+

2b-a

5

i，|ω|=5

2

，∴

( 2a+b 5 )2+( 2b-a 5 )2

=5

2

．
把a=3b代入化为b²=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±(

2×15+5

5

+

10-15

5

i)=±（7-i）．
故答案为±（7-i）．

点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．