Question

已知tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

(x≠kπ+

π

4

)，那么函数y=tanx的周期为π．类比可推出：已知x∈R且f(x+π)=

1+f(x)

1-f(x)

，那么函数y=f（x）的周期是（　　）

A．π

B．2π

C．4π

D．5π

Answer 1

分析：根据tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

(x≠kπ+

π

4

)，那么函数y=tanx的周期为π，利用f(x+π)=

1+f(x)

1-f(x)

，可计算得f（x+4π）=f（π），从而可求函数y=f（x）的周期

解答：解：∵f(x+2π)=f(x+π+π)=

1+f(x+π)

1-f(x+π)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

∴f(x+4π)=f[(x+2π)+2π]=-

1

f(x+2π)

=-

1

- 1 f(π)

=f(π)
∴函数y=f（x）的周期是4π
故选C．

点评：本题重点考查函数的周期，考查类比思想，解题的关键是利用解析式化简，利用函数周期的定义进行判断．