Question

一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．
（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；
（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（3）求该多面体的表面积．

Answer 1

分析：（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图．
（2）连接AC，BD交于O点，因为E为AA₁的中点，可得OE为△AA₁C的中位线，OE∥A₁C，从而证得OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，S_ABCD=a²，SA1B1C1D1=

a2

2

，再求出S△A1AB，S△AA1D1的值，由表面积 S =  SABCD+SA1B1C1D1+ 4S△A1AB+4S△AA1D1，运算求出结果．

解答：解：（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下：
（2）证明：如图，连接AC，BD交于O点，因为E为AA₁的中点，O为AC的中点，所以在△AA₁C中，OE为△AA₁C的中位线，
所以OE∥A₁C，∵OE?平面A₁C₁C，A₁C₁?平面A₁C₁C，
所以OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，S_ABCD=a²，SA1B1C1D1=

a2

2

，S△A1AB=S△B1BC=S△C1DC=S△D1AD=

a2

2

，S△AA1D1=S△BB1A1=S△CB1C1=S△DC1D1=

1

2

×

2 a

2

×

3 2 a

4

=

3a2

8

，
所以表面积S=a2+

a2

2

+4×

a2

2

+4×

3a2

8

=5a2．

点评：本题考查几何体的三视图，证明直线和平面平行的方法，求几何体的表面积，体现了数形结合的数学思想，是一道中档题