Question

已知椭圆的中心在原点，左焦点F₁（-2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为

2 6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±

b2

a

．
所以

b2 a = 6 3 c=2

，又a²=b²+c²，解得

a= 6 b= 2

．
∴椭圆的标准方程为

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线与椭圆的方程

x2 6 + y2 2 =1 x=my-3

，得（m²+3）y²-6my+3=0，
y1+y2=

6m

m2+3

，y1y2=

3

m2+3

，
由题意可知AF₁⊥BF₁，即kAF1•kBF1=-1，
∴

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

y1y2

(my1-1)(my2-1)

=

y1y2

m2y1y2-m(y1+y2)+1

=-1
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0．
∴

3(m2+1)

m2+3

-

6m2

m2+3

+1=0，解得m=±

3

．
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为x+

3

y+3=0或x-

3

y+3=0．