Question

16．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₆=-5，S₁₀=15，数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和为 S_n=$\frac{7}{24}{n}^{2}$-$\frac{97}{24}n$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由于S₆=-5，S₁₀=15，利用等差数列的前n项和公式可得a₁与公差d，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₆=-5，S₁₀=15，
∴$6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}×d$=-5，$10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d$=15，
解得a₁=$-\frac{15}{4}$，d=$\frac{7}{6}$．
∴S_n=$-\frac{15}{4}n$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{7}{6}$=$\frac{7}{12}{n}^{2}$-$\frac{13}{3}n$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{7}{12}n-\frac{13}{3}$，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等差数列，首项为$-\frac{15}{4}$，公差为$\frac{7}{12}$．
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和=$\frac{n（-\frac{15}{4}+\frac{7}{12}n-\frac{13}{3}）}{2}$=$\frac{7}{24}{n}^{2}$-$\frac{97}{24}n$．
故答案为：S_n=$\frac{7}{24}{n}^{2}$-$\frac{97}{24}n$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．