Question

底面是正方形的四棱锥A-BCDE中，AE⊥底面BCDE，且AE=CD=a，G、H分别是BE、ED的中点，则GH到平面ABD的距离是

3

6

a

．

Answer 1

分析：连接BD，设点E到平面ABD的距离为h，利用V_A-EBD=V_E-ABD求出E到平面ABD的距离，然后求出GH到平面ABD的距离．

解答：解：连接BD，设点E到平面PBD的距离为h，
则由AE⊥底面BCDE，且AE=CD=a，∴△ABD是边长为

2

a的正三角形，
而由VA-EBD=VE-ABD得

1

3

×S△EBD×EA=

1

3

×S△ABD×h，
即S_△ABD×h=S_△EBD×EA．
又S△ABD=

1

2

×AB2sin60°=

3 a2

2

，S△EBD=

1

2

a2，
∴

3 a2

2

×h=

a2

2

×a，h=

3

3

a
故点E到平面ABD的距离为

3

3

a．
因为G、H分别是BE、ED的中点，所以GH∥BD，
GH到平面ABD的距离是点E到平面ABD的距离的一半，即

3

6

a．
故答案为：

3

3

a．

点评：本题主要考查直线到平面的距离，以及三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．