Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）求证：BD⊥FG；
（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅲ）当二面角B-PC-D的大小为

2π

3

时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可．
（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可．
（Ⅲ）当二面角B-PC-D的大小为

2π

3

时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果．
这三个问题可以利用空间直角坐标系，解答（Ⅰ）求数量积即可．
（Ⅱ）设才点的坐标，向量共线即可解答．
（Ⅲ）利用向量数量积求解法向量，然后转化求出PC与底面ABCD所成角的正切值．

解答：证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG（5分）
解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=

3

4

AC时，FG∥平面PBD，（7分）
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG?平面PBD，PE?平面PBD，
故FG∥平面PBD．（9分）
解（Ⅲ）：作BH⊥PC于H，连接DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD就是二面角B-PC-D的平面角，（11分）
即∠BHD=

2π

3

，
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角（12分）
连接EH，则EH⊥BD，∠BHE=

π

3

，EH⊥PC，
∴tan∠BHE=

BE

EH

=

3

，而BE=EC，
∴

EC

EH

=

3

，∴sin∠PCA=

EH

EC

=

3

3

，∴tan∠PCA=

2

2

，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

2

2

（14分）
或用向量方法：
解：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
E（

1

2

，

1

2

，0），F（

1

2

，

1

2

，

a

2

），G（m，m，0）（0＜m＜

2

）（2分）
（Ⅰ）

BD

=（-1，1，0），

FG

=（m-

1

2

，m-

1

2

，-

a

2

），

BD

×

FG

=-m+

1

2

+m-

1

2

+0=0，
∴BD⊥FG（5分）
（Ⅱ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而

EP

=（

1

2

，

1

2

，-a），由

FG

=

1

2

EP

可得

m- 1 2 = 1 2 λ - a 2 =-aλ

，
解得l=1，m=

3

4

，（7分）
∴G（

3

4

，

3

4

，0），∴

AG

=

3

4

AC

，
故当AG=

3

4

AC时，FG∥平面PBD（9分）

（Ⅲ）设平面PBC的一个法向量为

u

=（x，y，z），
则

u • PC =0 u • BC =0

，而

PC

=(1，1，-a)，

BC

=(0，1，0)，
∴

x+y-az=0 y=0

，取z=1，得

u

=（a，0，1），同理可得平面PDC的一个法向量为

v

=（0，a，1），
设

u

，

v

所成的角为β，则|cosβ|=|cos

2π

3

|=

1

2

，即

| u • v |

| u || v |

=

1

2

，∴

1

a2+1 • a2+1

=

1

2

，∴a=1（12分）
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

1

2

=

2

2

（14分）

点评：本题考查直线与平面、平面与平面的性质，空间直线的位置关系，空间直角坐标系，空间想象能力，逻辑思维能力，是难度较大题目．