题目内容

如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行
其中真命题的个数是(  )
分析:对于①,点M不在这两异面直线中的任何一条上,所以,过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交,①正确.
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直,正确.
③过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交,③不正确.
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,正确.
解答:解:直线AB与B1C1 是两条互相垂直的异面直线,点M不在这两异面直线中的任何一条上,如图所示:
取C1C的中点N,则MN∥AB,且 MN=AB,设BN 与B1C1交于H,则点 A、B、M、N、H 共面,
直线HM必与AB直线相交于某点O.
所以,过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交;故①正确.
过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直,此垂线就是棱DD1,故②正确.
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交,故 ③不正确.
过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面,故④正确.
综上,①②④正确,③不正确,
故选C.
点评:本题主要考查了异面直线的概念与性质,为多选题,必须逐个判断.
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