Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别是y₁、y₂万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y₂=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y₁，y₂对应的曲线C₁、C₂如图所示．
（1）求函数y₁、y₂的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意，解得，…（4分）
又由题意得（x≥0）…（7分）
（不写定义域扣一分）
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4-x）万元
由（1）得，（0≤x≤4）…（10分）
令，则有=，，
当t=2即x=3时，y取最大值1．
答：该商场所获利润的最大值为1万元．…（14分）
（不答扣一分）
分析：（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y₁、y₂的解析式；
（2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4-x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．
点评：本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．