Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别是y₁、y₂万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1=m

x+1

+a，y₂=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y₁，y₂对应的曲线C₁、C₂如图所示．
（1）求函数y₁、y₂的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为(8，

5

8

)，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y₁、y₂的解析式；
（2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4-x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．

解答：解：（1）由题意

m+a=0 3m+a= 8 5

，解得m=

4

5

，a=-

4

5

，y1=

4

5

x+1

-

4

5

，(x≥0)…（4分）
又由题意8b=

8

5

得b=

1

5

，y2=

1

5

x（x≥0）…（7分）
（不写定义域扣一分）
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4-x）万元
由（1）得y=

4

5

x+1

-

4

5

+

1

5

(4-x)，（0≤x≤4）…（10分）
令

x+1

=t，(1≤t≤

5

)，则有y=-

1

5

t2+

4

5

t+

1

5

=-

1

5

(t-2)2+1，(1≤t≤

5

)，
当t=2即x=3时，y取最大值1．
答：该商场所获利润的最大值为1万元．…（14分）
（不答扣一分）

点评：本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．