题目内容

(本题满分8分.老教材试题第1小题4分,第2小题4分;新教材试题第1小题3分,第2小题5分.)
(老教材)
设a为实数,方程2x2-8x+a+1=0的一个虚根的模是
5

(1)求a的值;
(2)在复数范围内求方程的解.
(新教材)
设函数f(x)=2x+p,(p为常数且p∈R)
(1)若f(3)=5,求f(x)的解析式;
(2)在满足(1)的条件下,解方程:f-1(x)=2+log2x2
分析:(老教材)(1)设方程2x2-8x+a+1=0的两个虚根为z1,z2,而该方程为实系数方程,所以方程两根必为共轭虚根,然后根据|z1|2=z1
.
z1
=z1z2=5
可求出a的值;
(2)将a代入方程,然后在复数范围内解方程即可;
(新教材)(1)据题意f(3)=5代入方程,求出p的值,从而求出解析式;
(2)先求出函数的反函数,然后解对数方程,注意定义域优先原则,从而求出所求.
解答:(老教材)解:(1)设方程2x2-8x+a+1=0的两个虚根为z1,z2
由于该方程为实系数方程,所以方程两根必为共轭虚根,即z1=
.
z2

|z1|2=z1
.
z1
=z1z2=
a+1
2
=5
⇒a=9.
(2)由(1)得方程2x2-8x+10=0,即x2-4x+5=0
解得z1=2+i,z2=2-i.
(新教材)解:(1)据题意f(3)=5代入f(x)=2x+p,得23+p=5⇒p=-3,所以f(x)=2x-3.
(2)由2x=y+3,得x=log2(y+3)
所以f-1(x)=log2(x+3),x∈(-3,0)∪(0,+∞).
故方程即为log2(x+3)=2+log2x2,⇒log2(x+3)=log2(4x2)⇒4x2-x-3=0,解得x=1,x=-
3
4

由于,经检验x1=1,x2=-
3
4
都为原方程的根.
点评:本题主要考查了复数运算,以及反函数和对数方程,解题时需注意定义域,属于基础题.
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