题目内容

（2012•杭州二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a ＞ b ＞ 0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2
3
，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
2
3
．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若
OA
•
OB
=
4
tan∠AOB
（O为坐标原点），求|y1-y2|的值；
（Ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA、QB的倾斜   角互为补角？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（I）由椭圆的定义可知：a=
3
；由P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
2
3
，可得-
b2
a2
=-
2
3
，即可得到a，b2．
（II）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，得到根与系数的关系；由直线QA、QB的倾斜角互为补角，可得kQA+kQB=0，利用斜率计算公式得出，把根与系数的关系代入解出即可．
解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=
3
，又-
b2
a2
=-
2
3
，∴b2=2，c2=a2-b2=1．
∴椭圆P（x0，y0）的方程是
x2
3
+
y2
2
=1．
∵
OA
•
OB
=
4
tan∠AOB
，∴|
OA
|•|
OB
|cos∠AOB=
4
tan∠AOB
，
∴|
OA
|•|
OB
|sin∠AOB=4，
∴S△AOB=
1
2
|
OA
|•|
OB
|sin∠AOB=2，
又S△AOB=
1
2
|y1-y2|×1，故|y1-y2|=4．
（Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．
设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=
6k2
3k2+2
，x1•x2=
3k2-6
3k2+2

∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，
∴kQA+kQB=0，∴
y1
x1-m
+
y2
x2-m
=0．
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，
∴2×
3k2-6
3k2+2
+2m-(m+1)×
6k2
3k2+2
=0，
化为2m-6=0，解得m=3，
∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．
点评：熟练掌握椭圆的定义、椭圆上一点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
b2
a2
、直线QA、QB的倾斜角互为补角?kQA+kQB=0、直线与椭圆的方程相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．
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3
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π
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1
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