Question

设f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a）

Answer 1

分析：（1）先由导数知识求出g（x），然后利用配方法把二次函数g（x）表示成顶点式，再根据g（x） 在x=-2处取得最小值-5，可列方程组求得m、n的值，则问题解决．
（2）首先求出f（x）的导函数f′（x）=x²+2mx+n（二次函数），然后根据f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可判断函数f′（x）=x²+2mx+n有两个不同的零点x₁、x₂，且利用根与系数的关系能表示出|x₁-x₂|=2

m2-n

，再由“此长度是正整数”且“m+n＜10（m，n∈N⁺）”为突破口，对m、n进行分类讨论，最后找到满足要求的m、n．

解答：解：（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，
所以

m-1=2 (m-3)2

+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=

1

3

x³+3x²+2x． 
（2）因为f′（x）=x²+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有两不等实根，
则△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x₁、x₂，则|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

m2-n

且为正整数．
又因为m+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2时才能有满足条件的m、n．
当m=2时，只有n=3符合要求；
当m=3时，只有n=5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求．

点评：本题考查了幂函数的求导公式、二次函数的最值及一元二次方程根与系数的关系；更主要的是考查利用导数研究函数单调性的方法及分类讨论的思想方法．