题目内容
设f（x）=
x3+
ax2+2bx+c，若当x∈（0，1]时，f（x）取得极大值，x∈（1，2]时，f（x）取得极小值，则
的取值范围是
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| a-1 |
| b-2 |
（1，4]
（1，4]
．分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
解答：
解：∵f（x）=
x3+
a x2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1]内取得极大值，在区间（1，2]内取得极小值
∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即
0，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，
表示点A（1，2）与可行域内的点B连线的斜率，
当B（x，y）=M（-1，0）时，
最大，最大为1；
当B（x，y）=N（-3，1）时，
最小，最小为
；
所以
∈[
，1）⇒
∈（1，4]．
故答案为（1，4]．
解：∵f（x）=| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴f′（x）=x2+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1]内取得极大值，在区间（1，2]内取得极小值
∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即
|
| b-2 |
| a-1 |
当B（x，y）=M（-1，0）时，
| b-2 |
| a-1 |
当B（x，y）=N（-3，1）时，
| b-2 |
| a-1 |
| 1 |
| 4 |
所以
| b-2 |
| a-1 |
| 1 |
| 4 |
| a-1 |
| b-2 |
故答案为（1，4]．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．
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