Question

【题目】已知函数（a∈R）．

（1）若曲线y=f（x）在x=e处切线的斜率为﹣1，求此切线方程；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：x1x2＞x1+x2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，求出的值以及切点坐标，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，得，令，根据函数的单调性求出的范围，从而证明结论．

（1）∵f'（x）=lnx﹣ax，∴f'（e）=1﹣ae=﹣1，解得，

∴f（e）=﹣e，故切点为（e，﹣e），所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为x+y=0．

（2）证明：f'（x）=lnx﹣ax，令f'（x）=0，得．令，

则，且当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x=1时，g（x）=0；x＞1时，g（x）＞0．令g'（x）=0，得x=e，且当0＜x＜e时，g'（x）＞0；当x＞e时，g'（x）＜0．

故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，所以．

所以当a＜0时，f（x）有一个极值点；时，f（x）有两个极值点；

当时，f（x）没有极值点．综上，a的取值范围是．

因为x1，x2是f（x）的两个极值点，所以即…①

不妨设x1＜x2，则1＜x1＜e，x2＞e，

因为g（x）在（e，+∞）递减，且x1+x2＞x2，所以，即…②．由①可得lnx1+lnx2=a（x1+x2），即，

由①，②得 ，所以