题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,M为椭圆上除长轴端点外的任意一点,且△MF1F2的周长为4+2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点D(0,﹣2)作直线l与椭圆C交于A、B两点,点N满足 (O为原点),求四边形OANB面积的最大值,并求此时直线l的方程.

【答案】
(1)解:由离心率为e= = ,①

则△MF1F2的周长l=2a+2c=4+2 ,则a+c=2+ ,②

则a=2,c=

则b2=a2﹣c2=1,

∴椭圆C的方程


(2)解:由 ,则四边形OANB为平行四边形,

当直线l的斜率不存在时显然不符合题意;

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx﹣2,l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由 得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0

由△=162k2﹣48(1+4k2)>0,得k2 ∴x1+x2= ,x1x2=

∵SOAB= 丨OD丨丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨,

∴四边形OANB面积S=2SOAB=2丨x1﹣x2丨=2

=2

=2

=8

令4k2﹣3=t,则4k2=t+3(由上可知t>0),S=8 =8 ≤8 =8 =2,

当且仅当t=4,即k2= 时取等号;

∴当k=± ,平行四边形OANB面积的最大值为2,

此时直线l的方程为y=± x﹣2


【解析】(1)利用椭圆的离心率公式及焦点三角形的周长公式,求得a和c的值,b2=a2﹣c2span>=1,即可求得椭圆方程;(2)确定四边形OANB为平行四边形,则SOANB=2SOAB , 表示出面积,利用基本不等式,即可求得最大值,从而可得直线l的方程.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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