Question

已知f （x）=x+1，g （x）=2x+1，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=则数列{a_n}的前2007项的和为

1. A.
   5×2²⁰⁰⁸-2008
2. B.
   3×2²⁰⁰⁷-5020
3. C.
   6×2²⁰⁰⁶-5020
4. D.
   6×2¹⁰⁰³-5020

Answer 1

D
分析：根据题意可得a_2n+2=a_2n+1+1，从而可知数列{a_2n+2}是以2为公比、以a₂=a₁+1=2为首项的等比数列．进而有a_2n+a_2n+1=a_2n+2a_2n+1=3a_2n+1，故求数列{a_n}的前2007项的和，分组求和可得．
解答：∵a_2n+2=a_2n+1+1=（2a_2n+1）+1=2a_2n+2，
∴a_2n+2+2═2（a_2n+2），
∴数列{a_2n+2}是以2为公比、以a₂=a₁+1=2为首项的等比数列．
∴a_2n+2=2×2^n-1，
∴a_2n=2ⁿ-2．
又a_2n+a_2n+1=a_2n+2a_2n+1=3a_2n+1，
∴数列{a_n}的前2007项的和为
a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+（a₆+a₇）+…+（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）
=a₁+（3a₂+1）+（3a₄+1）+（3a₆+1）+…+（3a₂₀₀₆+1）
=1+（3×2-5）+（3×2²-5）+（3×2³-5）+…+（3×2¹⁰⁰³-5）
=1+（3×2-5）+（3×2²-5）+（3×2³-5）+…+（3×2¹⁰⁰³-5）
=3×（2+2²+2³+…+2¹⁰⁰³+1-5×1003
=6×（2¹⁰⁰³-1）+1-5×1003=6×2¹⁰⁰³-5020，
故选D
点评：本题以函数为载体，考查等比关系的确定，关键是正确运用条件得出a_2n+a_2n+1，故可求．