Question

设圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线l交两坐标轴于A（a，0），B（0，b），（ab≠0）．
（1）求a，b应满足的条件；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）若a＞2，b＞2，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

解：（1）直线l的方程为，即bx+ay-ab=0．
依题意，圆心（1，1）到l的距离d=r
得应满足的条件；
（2）设AB的中点为P（x，y），则

代入（a-2）（b-2）=2，
有为线段AB中点的轨迹方程．
（3）由（a-2）（b-2）=2?ab=2a+2b-2．又a＞2，b＞2，
∴
=．
当且仅当时取
等号，所以，△AOB面积的最小值是．
分析：（1）写出直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求a，b应满足的条件；
（2）设出线段AB中点的坐标，得到坐标满足的关系，代入直线l的方程可求AB中点的轨迹方程；
（3）若a＞2，b＞2，表示出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出三角形面积的最小值．
点评：本题考查直线与圆的位置故选，轨迹方程的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．