Question

设点F是抛物L：y²=2px（p＞0）的焦点，P₁，P₂，…，P_n是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的坐标，时期满足；
（2）当n≥3时，若，求证：；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线l的焦点为F（，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用抛物线的定义可得x₁+x₂+x₃=3，故可取满足条件的三点；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用抛物线的定义可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=，从而可证=np
（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分别过P₁、P₂、P₃，P₄作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用抛物线的定义，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，从而可得结论；
②设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用抛物线的定义，可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=，从而可得结论；
③补充条件：点P_i的纵坐标满足y₁+y₂+…+y_n=0，即当n＞3时，，点P_i的纵坐标满足y₁+y₂+…+y_n=0，则．
解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分别过P₁、P₂、P₃作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）=x₁+x₂+x₃+=6
∵p=2，∴x₁+x₂+x₃=3
故可取P₁（），P₂（1，2），P₃（，）满足条件；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）+…+（x_n+）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+
∵           
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
∴=+=np
（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分别过P₁、P₂、P₃，P₄作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取，，，，则
故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例；
②设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∵，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n+=np，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以将这n点都取在x轴的上方，则它们的纵坐标都大于0，则
=（0，y₁+y₂+…+y_n）≠
③补充条件：点P_i的纵坐标满足y₁+y₂+…+y_n=0，即当n＞3时，，点P_i的纵坐标满足y₁+y₂+…+y_n=0，则
由②知，命题为真．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．