题目内容
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2,侧棱长为3,E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.
证明：把正四棱柱放置在坐标系中，则各点坐标为A(
,0,0),C(0, 
,0),B1(
,
, 
),D1(0,0,
),E(
,
,
),F(
,
,
).假设平面AB1C的法向量为n1=(1,λ1,μ1),则n1应垂直于
和
.而
=(-
,
,0),
=(0, 
,
),
∴n1·
=-
+
λ1=0及n1·
=
λ1+
μ1=0.
∴λ1=1,μ1=-
.
∴n1=(1,1,- 
).
再假设平面D1EF的法向量为n2=(1,λ2,μ2),则n2应垂直于
、
.而
=(
, 
,-
), 
=(
,
,-
),
∴n2·
=
+
λ2-
μ2=0,n2·
=
+
λ2-
μ2=0.
∴λ2=1,μ2=
.
∴n2=(1,1, 
).
由于n1·n2=1+1-
·6=1+1-2=0,
∴n1⊥n2.因此平面D1EF⊥平面AB1C.
练习册系列答案
相关题目
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点．
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M、N分别为B1B和A1D的中点．
（2012•长宁区一模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC1的中点，直线AP与平面BCC1B1成30°角，求异面直线BC1和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2012•昌平区二模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．